В каких случаях нужен доступ в сеть интернет?

Для удаленного управления устройством и получения информации со смартфона ребенка в реальном режиме времени нужен доступ к интернету на устройстве ребенка и родителя. Нет разницы будет ли это Wi-Fi или мобильный интернет. Что касается мобильного интернета, все зависит от его качества и доступа к нему в той локации, где находится телефон. Запросы с Вашего телефона могут быть обработаны только при наличии интернета.

Когда настройки на телефоне ребенка установлены, то приложение может выполнять данные установленные настройки без доступа к интернету.

Например если вы дома заблокируете все игры и ребенок пойдет в школу, а в школе нет Wi-Fi, а у на телефоне нет мобильного интернета, тем не менее, приложение продолжит блокировать игры. Но разблокировать их Вы сможете только тогда, когда на телефоне будет подключение к интернету, а до тех пор они будут заблокированы.